Евгений Александрович родился в Москве в семье Александра Семёновича Моргунова. Он воспитывался без отца, с 14 лет начал работать на заводе «Фрезер». В 1943 году юный Моргунов написал письмо на имя Сталина, в котором просил зачислить его в театральное училище. На письмо пришёл ответ, и Моргунова действительно зачислили в училище при театре им. Таирова, однако он проучился там всего год и перевёлся во ВГИК на актёрский факультет к Сергею Герасимову. В 1948 году окончил ВГИК. В 1948—1951 годах — актёр Театра-студии киноактёра. В 1951—1953 гг. — актёр академического Малого театра, затем снова вернулся в Театр киноактёра.

Рекомендация на Моргунова при зачислении в Театр киноактёра:
«     Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но если в экспедиции застрянет машина, Моргунов тут же её вытащит. Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но Моргунов прекрасно переносит жару и холод, и если надо — неприхотлив в еде. Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но он прекрасно умеет доить корову и переносит на ногах грипп. Такой, как Моргунов, в экспедиции незаменим. Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но вы-то знаете, талантлив ли Моргунов.[1]
А. Довженко
    »

Толстый и подчеркнуто серьёзный на сцене и на съёмочной площадке, Моргунов был востребован преимущественно в роли отрицательных персонажей. Первая актёрская работа, принёсшая Моргунову известность — роль предателя Стаховича в экранизации романа Александра Фадеева «Молодая гвардия» (версия 1948 года, режиссёр Сергей Герасимов). Молодой Моргунов в образе Стаховича настолько запомнился публике, что в одном провинциальном городе актёр был атакован на улице мальчишками, считавшими что выследили предателя.

В 1950-е годы актёр снимался преимущественно в фильмах историко-патриотической направленности, ныне малоизвестных. Всенародную популярность Моргунову принесла роль Бывалого в серии кинокомедий Леонида Гайдая 1960-х годов: «Самогонщики», «Пёс Барбос и необычный кросс», «Операция „Ы" и другие приключения Шурика», «Кавказская пленница, или новые приключения Шурика». На волне популярности Моргунов пробует себя в качестве режиссёра — снимает картину «Когда казаки плачут» по рассказу Шолохова (1963).

Во время съёмок «Кавказской пленницы» между Моргуновым и Гайдаем произошел конфликт, когда актёр повёл себя по отношению к режиссёру, известному своей строгостью, излишне независимо. Этот эпизод сильно осложнил дальнейшую карьеру Евгения Моргунова. В 1970—1980-е годы он редко снимался в кино, наиболее известный фильм этого периода с его участием — «Покровские ворота». В постсоветские годы он снялся в большем числе картин, чем за предыдущие двадцать лет, однако главных ролей по-прежнему не играл. Для зрителей он так и остался Бывалым.

Евгений Александрович болезненно переживал творческую невостребованность, крайне резко высказывался о советской кинематографической индустрии. В повседневной жизни он был большим шутником и любителем розыгрышей, всегда был окружён множеством друзей. Несмотря на то, что актёр на протяжении многих лет страдал от диабета, он злоупотреблял алкоголем, перенёс два инфаркта, инсульт. Евгений Моргунов скончался 25 июня 1999 года, незадолго до этого в автокатастрофе погиб его 24-летний сын Николай.
    Юмор Евгения Моргунова

    * Когда Моргунов был студентом ВГИКа и испытывал финансовые затруднения, то ездил на учёбу без билета. Бывало, он входил в автобус и, делая вид, что он хочет оплатить проезд, подавал кондуктору сторублёвку, составлявшую все его сбережения. Разумеется, кондуктор не мог дать ему сдачу с такой крупной купюры, и Моргунов ехал бесплатно. Рассказывали, что один кондуктор, неоднократно поймавший Моргунова на таком способе проезда, однажды при выезде в рейс специально взял под отчёт в кассе 99 рублей с копейками, и когда Моргунов подал ему сторублёвку, спокойно выдал ему билет и сдачу. Моргунов так расстроился, что вышел на следующей остановке. Но Моргунов использовал и другой способ бесплатного проезда: он входил в автобус и хорошо поставленным голосом просил пассажиров предъявить билеты, выдавая себя за контролёра. В дальнейшем импозантный актер таким же образом проходил в баню, на стадион и т. д. Те, кто узнавал его, не решались останавливать, а остальные принимали за важного чиновника, тем более, что он вёл себя соответственно.
    * Моргунов часто иронизировал над засильем КГБ и боязнью «органов» среди советских граждан. Иногда он садился в такси и требовал «следовать за той машиной», в ресторане просил столик, с которого были бы видны «подозреваемые». В обоих случаях он, естественно, ехал и обедал бесплатно, поскольку «жертве» и в голову не приходило брать с него деньги. Иногда подходил к заинтересовавшему его человеку и говорил «Пройдёмте!», а затем спрашивал, как у того дела и почему он за ним пошёл. Для убедительности Евгений Александрович иногда показывал актёрское удостоверение с красной корочкой, в которое «жертва» не всматривалась.
    * Аэропорт. Женщина-диспетчер произносит свою банальную фразу, что прибыл такой-то самолёт, улетел такой-то самолёт. Как только прозвучало объявление о посадке какого-то самолёта, Евгений Александрович заорал на весь аэропорт: «Повтори, сучка!» Диспетчер, естественно не слышав эту фразу, говорит: «Повторяю…»
    * Когда Моргунов был в США и его самолёт пролетал над Большим Солёным озером, он спросил у переводчика, как используется вода этого озера. Тот ответил, что никак, поскольку озеро солёное. Тогда Моргунов предложил засыпать в озеро огурцы и помидоры, а когда они достаточно просолятся — вылавливать и продавать.
    * Когда в Москву приехала Катрин Денёв и знакомилась с советскими артистами, Евгений Александрович не удержался и выдал очередную шутку: «А почему это я должен знакомиться именно с Катрин Денёв? Я бы с удовольствием познакомился с Катрин Часов!»
    * Моргунову кто-то сказал, что он был в числе кандидатов на Сталинскую премию за участие в съёмках фильма «Молодая гвардия», а не получил он премию лишь потому, что играл роль предателя. После этого много лет Моргунов любил приставать к коллегам (особенно к бывшим участникам съёмок этого фильма) с вопросом: «А помнишь, как гениально я сыграл предателя в Молодой гвардии?!»
Евгения Александровича похоронили рядом с младшим сыном Николаем на Кунцевском кладбище под Москвой